可拓数学对经典数学的拓展由于客观世界的各种事物处于相互联系、相互依存制约及不断运动变化之中,所以使客观世界纷繁复杂、奇变莫测。客观世界的复杂性主要表现在物质运动形式的多样性。现代科学将物质运动形式归纳为七类:机械运动、电磁运动、热运动、化学运动、原子运动、生命运动和思维运动,前五类运动形式基本上是无生命意义的、在纯客体的范畴内进行的;它们对物质基本要素(质量、能量、信息)的依赖关系主要依附于质量和能量,对信息涉及极少;运动的转化表现为质量变化、能量增减、质量互变、能量转换等,是低层次简单运动。而后两类运动是有生命意义、在带有主体特征的范畴内进行,它们对物质基本要素的依赖关系主要依附于信息,而物质和能量只是信息的载体;其运动的转化主要是信息的传递与更新,为高层次的复杂运动。

运动形式的多样化体现物质的动态特征。运动形式的多样性及各种运动形式的相互转化,必然使物质的基本量(质量、能量、信息)处于确定与非确定的矛盾之中,体现在客观事物的关系上就是四性:确定性、随机性、模糊性、可变性,后三性构成其不确定性。物质基本量的这三种不确定性,从层次上讲,可变性高于模糊性,模糊性高于随机性,随机性从因果关系上讲是不确定性,但从描述的事物本身的含义看是确定的。可变性,是高级形态的不确定性,比随机性、模糊性具有更一般和普遍的意义。从逻辑上讲,这三种不确定性都是形式逻辑三大定律的某种破缺:事物的随机性———或此或彼,是同一律的破缺而造成的不确定性,其对立面是必定性;事物的模糊性———亦此亦彼,是排中律的破缺而造成的不确定性,其对立面是精确性;事物的可变性———彼此互变,是矛盾律的破缺而造成的不确定性,其对立面是稳定性。事物的随机性、模糊性只涉及数量而不涉及质量(包括能量和信息),而事物的可变性涉及质量(包括能量和信息),有时信息起着决定性的作用。在多种形式的运动中,随机性、模糊性、可变性这三种不确定性同时存在。在简单运动中,随机性表现的较为突出;在复杂的运动中,模糊性和可变性占有主要地位;在复杂的大系统中,量值所具有的明显的不确定性主要表现在模糊性和可变性特征上。对于低层次的简单运动形式,人们研究的较早,认识的也较清楚,运用经典数学(包括处理随机现象的概率与统计数学)就可以建立其数学模型。在19世纪数学无论从深度到广度都得到很大的发展呈现出空前的繁荣,但是到19世纪末数学在生物学中的应用仍等于零,即此时对复杂生命运动等的研究还没有突破性进展。虽然其中原因是多方面的,可是经典数学对于高层次的复杂运动形式难以建立其数学模型是重要原因之一。

20世纪随着科学技术的发展,特别是电子计算机和人类与大自然不够和谐协调的裂缝的出现,促使人们向高层次复杂运动形式的研究进军,揭开高层次复杂运动的秘密,推动科学技术的进一步发展,使人类与大自然紧密和谐协调持续发展。模糊数学的创立,拓展了经典数学,为复杂运动形式的研究开辟了一条新途径,但是离描述和处理解决矛盾问题还有距离,须将数学的研究范围扩充到事物的可变性上来,将其逻辑基础扩充到形式逻辑与辩证逻辑有机结合的新逻辑上来。

现实世界是一个矛盾的对立统一体,矛盾问题无处不有时时存在。对于矛盾问题似乎没有解,事实上矛盾问题是有许多解法和解。因为纵观人类历史,人类为了自己的生存和发展每时每刻都在解决着各种各样的形形色色的矛盾问题,所以人类历史就是一部解决矛盾问题、开拓发展的历史。但是,在矛盾问题面前,有的人束手无策,有的人妙计连生;解决矛盾问题,有人出的“点子”可行,有人想的“办法”不通,那么解决矛盾问题有无规律可循?有无方法可依?能否用形式化方法来描述人们解决矛盾问题的过程,用计算机来帮助人们处理矛盾问题?人类能否依据一定的规律去开拓,使开拓活动与大自然协调起来?能否用人类的智慧去驾驭地球,使人类在解决矛盾问题的过程中与大自然和谐持续发展?这些问题都是具有深刻哲学意义和普遍实际意义的大课题。

众所周知,经典数学具有高度的抽象性。它在对实际问题的抽象过程中,撇开客观事物的质的方面,舍弃事物任何质的规定,仅从数量关系和空间形式上作抽象,且在纯粹形态上用抽象的逻辑分析和推理来研究数和形,是“单刃刀”,致使它抽象的让绝大多数人感到离客观实际太远,甚至于到了让人误解成为“空中楼阁”的地步。然而,客观世界的任何事物都是质和量的统一体,事物的变化有质变和量变之分,事物的质变和量变紧密相联、互相制约。因此,经典数学企图将事物的质与量割裂开来,这就使它从本质上存在着根本性矛盾,虽然在一定的条件下经典数学及其方法有其广泛的适用性,但也使得它无法描述解决问题的一些过程,如在解决矛盾问题中,当既要考虑质的变换,又要考虑量的变换时,经典数学就显得无能为力了。比如曹冲称象的故事中,解决矛盾问题的关键在于把大象换为石头,这是事物的变换或事物的质的变换;要将高于车间大门的配电屏搬进车间,通常必须采取把配电屏“放倒”的方法,这里起作用的是将高换为长,这是特征的变换。如果只考虑数量关系用数学模型描述矛盾问题,就会出现矛盾方程、矛盾不等式、无解的线性规划等数学模型,出现与实际应用不幸脱节的局面。

因此,对经典数学必须经历一个批判性的修正阶段,在进行数学抽象时不仅要顾及量,也要顾及质,既要作抽象逻辑推理,又要尊重客观实际规律,使数学与实际应用进入二者紧密结合的新时代。由上可见:要形式化地表现解决矛盾问题的过程,只考虑数量关系和量变是不够的,除此之外,还必须考虑事物本身和它的特征,而且必须将事物、事物的特征及事物关于这些特征的相应量值三个要素作为一个有机整体,运用定量和定性的方法以及一些非数学方法(包括物理方法、化学方法等)来研究。我国蔡文研究员突破了经典数学的框架,提出(事物,特征,量质)作为描述事物的基本元(简称为物元),并形式地记为Ｒ=(Ｎ,ｃ,ｖ)=(Ｎ,ｃ,ｃ(Ｎ))。由于物元具有内部结构及三要素的可变性,所以使得可以根据一物多征、一征多物、一值多物,每类要素之间的联系可聚合或构成新的系统,三要素之间的内在联系和关系,事物的内部结构等性质去研究事物向外、结合、分解、向内、平行变化的可能性(称为物元的可拓性———发散性、可扩性、相关性、蕴含性、共轭性),为解决矛盾问题提供各种可能的路径,并以形式化的语言给予描述。因此,有了正确反映事物质和量关系的有机结合的物元概念,就可以将事物变换、特征变换、量值变换、物元变换作为特定运算而引入其中,从而使其可以形式化地描述人们解决矛盾问题而进行的平行性、整体性及变通性的思维活动过程。客观世界中的事物处于不断地变化之中,其事物的变化有两种形式:一种是自然变易———没有人的作用,事物自身或其环境发生的变化;一种是人工变易———在人的干预下而使事物产生的变化。人们使矛盾问题变为相容问题主要是使用人工变易的方法。

解决矛盾问题,必须考虑是与非的相互转化问题。但是,在经典数学中,只研究“是”就是“是”,“非”就是“非”的确定性;在模糊数学中,仅考虑事物差异的中介过渡所表现出的模糊性,它们都忽视了事物的可变性。因此,经典数学、模糊数学都难以对是与非的转化及解决矛盾问题的过程进行刻划、描述和处理,需要寻求一套研究和处理可变性的数学方法。分类,是认识事物的基础。合理的分类是进行查询、检索、决策和控制等的必要条件。集合是描述人脑思维对客观事物的识别和分类,进而实行定量化处理的数学方法。对于解决矛盾问题中,“是”与“非”、“不相容”向“相容”的转化,显然按现有的分类方法(经典集合、模糊集合)都是无法描述的。由于客观事物是复杂多变、灵活多样的,所以人脑思维对客观事物的识别与分类也不止一个模式,识别与分类可凭借思维主体的需要来确定,例如,5000斤重的大象不属于用杆称可以称的物体的集合,但是将其换为5000斤重的若干块石头(每块石头小于或等于200斤)或具有可分性的物体,则其也可以看作是属于这个集合的元素。因此,“人们不但要发展纯粹的数理逻辑,而是有必要研究容许一定矛盾前提的逻辑”[5];

描述解决矛盾问题的过程,需要以事物的可变性为基点,将转化思想引入分类准则,建立新的集合概念。于是,产生了可拓集合。它是由我国蔡文研究员在1983年发表的“可拓集合与不相容问题”一文中创立的,标志着可拓数学的诞生,从而把数学的应用范围从确定现象、模糊现象扩大到可变现象。可拓数学产生发展才17年的历史。然而在我国许多学者及国外一些学者的努力研究下,其文献数量迅速增长,初步形成了物元理论、可拓集合与关联函数、可拓逻辑与算法、可拓信息论、可拓系统论、可拓控制论、可拓决策论、可拓神经网络、可拓预测与评判,可拓方法与可拓工程方法,其应用的触角正伸向许多领域,如工业、农业、军事、经济、生物、医学等领域。但是,需要大家共同努力,使科学百花园中这门年轻的学科更好更快地进一步发展、完善趋于成熟。