问题求解的一般情形可以表达为如下的形式:给定问题的描述,同时给定求解问题的约束条件的描述,要求通过演算给出问题的解答.可见,它包含了3类基本要素:问题,约束条件,解答.在通常的条件下,求解问题的程序便是:利用已有的相关知识(科学的、工程的、数学的),在给定条件的约束下对问题进行适当的演绎,直至求出满足要求的解答.
演绎是问题求解的基本过程.其中,问题是演绎的起点,解答是演绎的终点,约束条件是演绎的限制规则,相关的知识是演绎的工具.于是,问题求解就是在规则的限制下,利用工具从起点演绎到终点的过程.在大多数情况下,这种演绎都能获得满意的结果.但是,无论在工程技术还是日常生活领域,人们都会不时地遇到一些这样的问题,使得上面所说的演绎过程无法得出满意的结果.在数学上,这类问题称为无解的问题,工程上称为难解的问题,日常生活中成为矛盾问题.出现这种情况的原因很多,归结起来大致有以下几种情形: (1)或者是因为原始问题本身描述得不够清楚; (2)或者是因为给出的约束条件不合理; (3)或者是因为求解问题所需要的相关知识不够完备.只要出现了上述3类情形的任何一类,就会使问题求解难以进行甚至无法进行.
针对以上情形,解决这类问题的方法大体也可以归结为3类: (1)获得更多有关原始问题的信息,把原始问题描述得更清楚更准确; (2)在允许的情况下改善给定的约束条件,使给定的限制规则更加合理; (3)积累和发展更丰富的知识(包括数学知识、科学知识、技术知识和工程知识),使求解工具更加有力.
按照我的理解,蔡文教授等人[1]提出和研究的“可拓学”,属于第(3)类方法,即假定所给定的原始问题和给定的约束条件都是合理的,希望在不改变原始问题和约束条件的前提下通过改善求解工具的能力(特别是拓展数学工具的表达能力和逻辑的推理能力)来寻求问题的解决.因此,他们首先通过拓展康托的标准集合概念、提出和建立“可拓集合”的概念,以期改善集合理论对问题的表达能力[2];然后,在此基础上通过拓展原有逻辑的推理规则和构建“可拓逻辑”[3],从而扩展原有逻辑的推理能力.正是凭借所扩展的问题表达能力和逻辑推理能力,原来一些看似无解或难解的问题得到了表达,并得到了满意的解答.
据了解,蔡文教授他们最初从“曹冲秤大象”和“司马光破缸救友”这样一些古人的奇思妙想得到启发,收集了不少类似的解题案例.随后便萌发了从理论上寻求解决这类问题的普遍性方法的思想,终于通过拓展数学工具(集合论和逻辑学)得到了预期的结果:通过相应的拓展方法,把原来认为“不可解”的问题变成“可解”.这也是为什么他们把自己的工作命名为“可拓学”的基本原因.为了使“可拓学”的学术成果能够方便地应用于实际的问题求解,他们把基于“可拓集合”和“可拓逻辑”的问题求解方法编制成为计算机可以执行的运算程序,使“可拓学”可以利用现代的运算工具来处理和解决各种实际问题.由于在这方面取得了实际的进展,近年来“可拓学”已经在许多工程技术领域获得了应用,参与研究和应用“可拓学”的国内外科技工作者也越来越多,“可拓学”发展成为“可拓工程”.目前,“可拓学”已经走进了许多大学和研究机构,并已开始走出国门,在欧美地区引起了相关人员的注意.
其实,把某些看似“不可解”的问题转变为“可解”问题在国内外学术界并非罕见,但是把这类问题作为一个专门的对象进行系统性的研究并得到通用的求解理论和方法却是蔡文教授他们的首创.当然,要在一篇文章中全面介绍这样一种自成体系的研究成果是一件不容易的事情.大量生疏的概念、术语、符号也会使读者一时难以消化.幸好,科学出版社已经出版了《可拓学》的系列丛书,有兴趣的读者可以参阅相关的文献.
由此,可以得到一个重要的启发:随着科学技术不断向新的深度推进,在许多新的研究领域,已经出现甚至将会不断出现一些新的复杂问题,例如信息科学和人工智能领域的情感问题、意识问题、涌现问题等等,现有的数学工具无法描述和演绎,需要数学工作者和逻辑理论工作者发展新的数学理论和方法.需求是最强大的推动力,我们相信,在这些需求的刺激下,数学和逻辑理论将突破现有的框架,发展出新的更为强大的数学和逻辑工具为科学技术的进步服务.
一个更为重要的启示是:历史上许多重要的科学结论都是在前人当时科学技术发展水平上获得的认识(例如本文前面提到的康托集合理论),都只具有相对真理的性质,并非自古就有和万古不变的东西；随着整个科学技术水平的提高,人们对原有的某些科学结论有可能产生新的更为深刻的认识,因此就需要对原有的科学结论进行修正(如可拓集合对康托集合的修正).这是科学发展中十分正常的现象.于是,敢于批判性地继承和发展前人的科学研究成果,而不是盲目迷信前人的科学结论,这是我们一切科学研究工作者应当具备的科学素质和品格.否则,就很难有所创新.在康托集合理论面前,蔡文教授和他的合作者们采取了批判性继承的态度,坚持了科学分析的精神,首创了今天的“可拓学”,值得我们称赞.
尤其值得提到的是,近几百年来,人们根据“分而治之,各个击破,直接还原”的方法论取得了极其辉煌的工业时代科学研究成果.但是进入信息时代以来,人们遇到了越来越多以信息为主导因素的复杂研究对象.面对这类复杂问题,传统的“分而治之”方法论往往就会失去效力,原因是在把复杂问题分解为一些相对简单的子问题的时候往往丢失各个子问题之间的相互联系相互作用的信息,因此,当把所有子问题各个击破之后却无法实现还原.这就需要“方法论”的革新.由此可见,不仅应当批判性地继承历史上的科学结论,而且要批判性地继承历史上的科学研究方法论.只有这样,才能在越来越复杂的研究对象面前不断开拓出科学研究的新方法,获得科学研究的新成果.
1蔡文,杨春燕.可拓学的基础理论与方法体系.科学通报, 2013, 58: 1190–1199
2蔡文.可拓论及其应用.科学通报, 1999, 44: 673–682
3蔡文,杨春燕,何斌.可拓逻辑初步.北京:科学出版社, 2003
